La forma correcta de escribir esta expresión es a pesar, en dos palabras. La grafía simplificada apesar no es admitida es conveniente evitarla.
A pesar es una locución preposicional; se emplea con el significado de ‘no obstante’ o ‘pese a’, en oraciones donde se establece una relación de oposición o resistencia entre dos elementos. Se construye seguida de la preposición de: a pesar de.
Por ejemplo:
- A pesar de todo, me siento satisfecho del resultado obtenido.
- Le compró la cartera más bonita, pero, a pesar de eso, no sabía si a ella le gustaría.
- No entendía el concepto a pesar de la explicación.
No será correcta, por otro lado, escribir la expresión en una sola palabra
- Apesar de todo, me siento satisfecho del resultado obtenido.
- Compró la cartera más bonita, pero, apesar de eso, no sabía si a ella le gustaría.
- No entendía el concepto apesar de la explicación.
Así, pues, la expresión a pesar, al igual que otras locuciones en español, como sin embargo, de repente o a menudo ha de escribirse siempre separada.