Lo correcto es acceder. El verbo accesar no es adecuado, es un calco del verbo inglés to access.
En algunos lugares, sobre todo en México, Centroamérica y el Caribe, se ha vuelto frecuente el uso accesar, con el sentido de 'tener acceso' o 'entrar', especialmente cuando se refiere a cuestiones relacionadas con la informática, como el acceso a datos o archivos: "No puedo accesar a esa carpeta".
De este modo, accesar es innecesario y debe evitarse en todos los casos. Lo correcto es usar siempre acceder, que puede significar consentir o ceder en una solicitud o parecer, entrar en un lugar o pasar a él, así como tener acceso a una situación o condición superior. Acceder, además, debe construirse siempre seguido de la preposición a.
Por ejemplo:
- Mónica finalmente accedió a venir con nosotros.
- El presidente accedió al recinto del panteón para continuar con los homenajes.
- ¿Lograste acceder a mis archivos?
- Luego de años de esfuerzo, Nicolás accedió al grado de coronel.